7 Dạng bài tập cực trị số phức thường gặp trong kì thi THPT quốc gia có đáp án chi tiết

Chào mừng bạn đến với Gmod.apk hôm nay chúng tôi sẽ giới thiệu bài viết Chuyên đề cực trị số phức hi vọng sẽ giúp ích cho bạn

7 Dạng bài tập cực trị số phức thường gặp trong kì thi THPT quốc gia có đáp án

@ Dạng 1: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-{{z}_{1}} right|=left| z-{{z}_{2}} right|$. Tìm số phức thỏa mãn $left| z-{{z}_{0}} right|$nhỏ nhất.

Phương pháp: Đặt $M(z);A({{z}_{1}});B({{z}_{2}})$là các điểm biểu diễn số phức $z;,,{{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$. Khi đó từ giả thiết $left| z-{{z}_{1}} right|=left| z-{{z}_{2}} right|$suy ra $MA=MB$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực ∆ của AB.

Gọi $N({{z}_{0}})$là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{0}}$

Ta có $MN=left| z-{{z}_{0}} right|$nhỏ nhất khi $M{{N}_{min }}$ khi M là hình chiếu vuông góc của N trên d và $M{{N}_{min }}=d(N;Delta )$

Bài tập 1: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-4-i right|=left| z+i right|$. Gọi $z=a+bi,,(a;bin mathbb{R})$ là số phức thỏa mãn $left| z-1+3i right|$ nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức $T=2a+3b$là:

A. $-4$ B. 4 C. 0 D. 1

Lời giải chi tiết

Đặt $M(z);,,A(4;1),,,B(0;-1)$ là các điểm biểu diễn số phức $z;,,4+i$ và $-i$. Khi đó từ giả thiết suy ra $MA=MB$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực của AB đi qua $I(2;0)$ và có VTPT là $overrightarrow{n}=overrightarrow{AB}(-4;-2)Rightarrow Delta :2x+y-4=0$

Gọi $N(1;-3)$là điểm biểu diễn số phức $1-3i$

Ta có $left| z-1+3i right|$ nhỏ nhất khi $M{{N}_{min }}$ khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆, suy ra $MN:x-2y+1=0$

Giải hệ $left{ begin{array} {} 2x+y-4=0 \ {} x-2y-7=0 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} x=3 \ {} y=-2 \ end{array} right.Rightarrow Mleft( 3;-2 right)Rightarrow z=3-2iRightarrow 2a+3b=0$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Gọi $M(x;y);A(0;2),B(-2;0)$là các điểm biểu diễn số phức $z;,,2i$ và $-2$.

Từ giả thiết $Rightarrow $$MA=MBRightarrow Min $trung trực của AB có phương trình $Delta :x+y=0$

Lại có: $P=left| (2-i)z+5 right|=left| 2-i right|left| z+frac{5}{2-i} right|=sqrt{5}left| z+2+i right|$, gọi $N(-2;-1)$là điểm biểu diễn số phức $-2-i$ suy ra $P=sqrt{5}MN$

Ta có P nhỏ nhất khi $M{{N}_{min }}$ khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆, suy ra phương trình $MN:x-y+1=0$

Giải hệ $left{ begin{array} {} x+y=0 \ {} x-y+1=0 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} x=frac{-1}{2} \ {} y=frac{1}{2} \ end{array} right.Rightarrow Mleft( frac{-1}{2};frac{1}{2} right)Rightarrow z=frac{-1}{2}+frac{1}{2}iRightarrow left| z right|=frac{sqrt{2}}{2}$. Chọn A.

@ Dạng 2: Cho số phức $z$ thỏa mãn$left| z-{{z}_{0}} right|=R$. Tìm số phức thỏa mãn $P=left| z-{{z}_{1}} right|$đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Phương pháp: Đặt $M(z);I({{z}_{0}});E({{z}_{1}})$ là các điểm biểu diễn số phức $z;,,{{z}_{0}}$ và ${{z}_{1}}$. Khi đó từ giả thiết $left| z-{{z}_{0}} right|=RLeftrightarrow MI=R$ $Rightarrow M$ thuộc đường tròn tâm I bán kính R. Ta có: $P=ME$ lớn nhất $Leftrightarrow M{{E}_{max}}$và P nhỏ nhất $Leftrightarrow M{{E}_{min }}$. Khi đó:

${{P}_{max}}=IE+RLeftrightarrow Mequiv {{M}_{2}}$và ${{P}_{min }}=left| IE-R right|Leftrightarrow Mequiv {{M}_{1}}$

(Điểm E có thể nằm trong hoặc ngoài đường tròn).

Bài tập 1: Cho số phức $z$thỏa mãn $left| iz-3+2i right|=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=left| z-1-i right|$

A. ${{P}_{min }}=3$ B.${{P}_{min }}=sqrt{13}-3$ C. ${{P}_{min }}=2$ D. ${{P}_{min }}=sqrt{10}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $left| iz-3+2i right|=3Leftrightarrow left| i right|left| z-frac{3}{i}+2 right|=3Leftrightarrow left| z+2+3i right|=3Rightarrow $ tập hợp điểm M biểu diễn số phức $z$là đường tròn tâm $I(-2;-3)$ bán kính $R=3$

Gọi $E(1;1)$ là điểm biểu diễn số phức $1+iRightarrow P=MERightarrow {{P}_{min }}=left| EI-R right|=2$

Bài tập 2: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z+2-i right|=sqrt{5}$. Gọi ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ lần lượt là 2 số phức làm cho biểu thức $P=left| z-2-3i right|$ đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Tính $T=3left| {{z}_{1}} right|+2left| {{z}_{2}} right|$

A. $T=20$ B. $T=6$ C. $T=14$ D. $T=24$

Lời giải chi tiết

Ta có: $left| z+2-i right|=sqrt{5}Rightarrow $tập hợp điểm M biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(-2;1)$ bán kính $R=sqrt{5}$. Gọi $E(2;3)Rightarrow P=ME$

Phương trình đường thẳng $IE:x-2y+4=0$

Dựa vào hình vẽ ta có ${{P}_{max}}=IE+RLeftrightarrow Mequiv {{M}_{2}}$

Giải hệ $left{ begin{array} {} x-2y+4=0 \ {} {{(x+2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=5 \ end{array} right.Rightarrow left[ begin{array} {} {{M}_{2}}(-4;0)Rightarrow {{P}_{min }}=3sqrt{5} \ {} {{M}_{1}}(0;2)Rightarrow {{P}_{min }}=sqrt{5} \ end{array} right.$.

Do đó $T=3left| {{z}_{1}} right|+2left| {{z}_{2}} right|=3.2+2.4=14$. Chọn C.

@ Dạng 3: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-{{z}_{1}} right|=left| z-{{z}_{2}} right|$. Tìm số phức thỏa mãn $P=left| z-{{z}_{3}} right|+left| z-{{z}_{4}} right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp: Đặt $M(z);A({{z}_{1}});B({{z}_{2}});H({{z}_{3}});K({{z}_{4}})$ là các điểm biểu diễn số phức $z;{{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}}$và ${{z}_{4}}$. Khi đó từ giả thiết $left| z-{{z}_{1}} right|=left| z-{{z}_{2}} right|$ suy ra $MA=MB$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực ∆ của AB; $P=left| z-{{z}_{3}} right|+left| z-{{z}_{4}} right|=MH+MK$

TH1: H, K nằm khác phía so với đường thẳng ∆

Ta có: $P=MH+MKge HK$

Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow Mequiv {{M}_{o}}=HKcap (Delta )$

Khi đó ${{P}_{min }}=HK$

TH2: H, K nằm cùng phía so với đường thẳng ∆

Gọi H’ là điểm đối xứng của ∆

Khi đó: $P=MH+MK=MH’+MKge H’K$

Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow Mequiv {{M}_{o}}=H’Kcap (Delta )$

Khi đó ${{P}_{min }}=H’K$

Bài tập 1: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-1+2i right|=left| z+3-2i right|$. Gọi $z=a+bi$$(a;bin mathbb{R})$ sao cho

$P=left| z-2-4i right|+left| z+1-i right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a+b$ là:

A. 3 B. 5 C. 8 D. 4

Lời giải chi tiết

Đặt $M(z);A(1;-2),B(-3;2)$ tử giả thiết suy ra $MA=MB$ nên M thuộc đường thẳng trung trực của AB có phương trình $Delta :x-y+1=0$, gọi $H(2;4)$và $K(-1;1)$ là các điểm biểu diễn số phức $2+4i$ và $-1+i$

Ta có $P=MH+MK$và 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng ∆

Gọi H’ là điểm đối xứng của $Delta :x-y+1=0$

Ta có: $HH’:x+y-6=0$tọa độ trung điểm của HH’ là nghiệm hệ phương trình $left{ begin{array} {} x-y+1=0 \ {} x+y-6=0 \ end{array} right.Rightarrow Ileft( frac{5}{2};frac{7}{2} right)$

Suy ra $H'(3;3)$

Lại có: $P=MH+MK=MH’+MKge H’K$

Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow M=H’Kcap d$. Phương trình đường thẳng H’K là: $H’K:x-2y+3=0$

Suy ra ${{M}_{0}}=H’Kcap Delta Rightarrow {{M}_{o}}(1;2)Rightarrow z=1+2i$. Khi đó ${{P}_{min }}=H’K=2sqrt{5}$. Chọn A.

Bài tập 2: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-2+4i right|=left| iz-2 right|$. Gọi $z=a+bi$$(a;bin mathbb{R})$ sao cho

$P=left| z-i right|+left| z+1+3i right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đấy bằng

A. $sqrt{53}$ B. $sqrt{37}$ C. 4 D. $sqrt{41}$

Lời giải chi tiết

Ta có:$left| z-2+4i right|=left| iz-2 right|Leftrightarrow left| z-2+4i right|=left| i right|left| z-frac{2}{i} right|=left| z+2i right|$

Gọi $M(z);A(2;-4),B(0;-2)$từ giả thiết suy ra $MA=MB$ nên M thuộc đường thẳng trung trực của AB có phương trình $Delta :x-y-4=0$, gọi $H(0;1)$và $K(-1;-3)$là các điểm biểu diễn số phức $i$và $-1-3i$

Ta có: $P=MH+MK$và 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng ∆

Gọi H’ là điểm đối xứng của $Delta :x-y-5=0$

Ta có: $HH’:x+y-1=0$ tọa độ trung điểm của HH’ là nghiệm hệ phương trình $left{ begin{array} {} x-y-4=0 \ {} x+y-1=0 \ end{array} right.Rightarrow Ileft( frac{5}{2};-frac{3}{2} right)$

Suy ra $H'(5;-4)$

Lại có: $P=MH+MK=MH’+MKge H’K=sqrt{37}$. Chọn B.

@ Dạng 4: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-{{z}_{1}} right|=left| z-{{z}_{2}} right|$. Tìm số phức thỏa mãn $P={{left| z-{{z}_{3}} right|}^{2}}+{{left| z-{{z}_{4}} right|}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp: Đặt x$M(z);A({{z}_{1}});B({{z}_{2}});H({{z}_{3}});K({{z}_{4}})$ là các điểm biểu diễn số phức $z;{{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}}$ và ${{z}_{4}}$. Khi đó từ giả thiết $left| z-{{z}_{1}} right|equiv left| z-{{z}_{2}} right|$ suy ra $MA=MB$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực ∆ của AB; $P={{left| z-{{z}_{3}} right|}^{2}}+{{left| z-{{z}_{4}} right|}^{2}}=M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}$

Gọi I là trung điểm của$HKRightarrow M{{I}^{2}}=frac{M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}}{2}-frac{H{{K}^{2}}}{4}Rightarrow P=M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}=2M{{I}^{2}}+frac{H{{K}^{2}}}{2}$

nhỏ nhất khi $M{{I}_{min }}Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của I xuống$Delta $.

Bài tập 1: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z+2-4i right|=left| z-2i right|$. Gọi z là số phức thoả mãn biểu thức $P={{left| z-i right|}^{2}}+{{left| z-4+i right|}^{2}}$đạt giá trị nhỏ nhất. Tính${{left| z right|}^{2}}$.

A. ${{left| z right|}^{2}}=12$ B. ${{left| z right|}^{2}}=10$ C. ${{left| z right|}^{2}}=2$ D. ${{left| z right|}^{2}}=5$

Lời giải chi tiết

Gọi $M(z);A(-2;4),B(0;2)$ là các điểm biểu diễn số phức$z;-2+4i$ và $2i$

Khi đó $left| z+2-4i right|=left| z-2i right|Leftrightarrow MA=MBRightarrow M$thuộc trung trực của AB có phương trình$Delta :x-y+4=0$

Gọi$Hleft( 0;1 right),Kleft( 4;-1 right)Rightarrow P=M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}=2M{{I}^{2}}+frac{H{{K}^{2}}}{2}$

(với $Ileft( 2;0 right)$ là trung điểm của HK)

Do đó${{P}_{min }}Leftrightarrow M{{E}_{min }}$ hay M là hình chiếu vuông góc của I xuống$Delta $, khi đó

$IM:x+y-2=0Rightarrow M=IMcap Delta Rightarrow Mleft( -1;3 right)Rightarrow {{left| z right|}^{2}}=O{{M}^{2}}=10$. Chọn B.

Bài tập 2: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-1+3i right|=left| z+2+i right|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P={{left| z-2+4i right|}^{2}}+{{left| z+2i right|}^{2}}$ là:

A. ${{P}_{min }}=8$ B. ${{P}_{min }}=9$ C. ${{P}_{min }}=16$ D. ${{P}_{min }}=25$

Lời giải chi tiết

Gọi $M(z);A(1;-3),B(-1;-1)$ là các điểm biểu diễn số phức$z;,,1+3i$ và $-1-i$

Khi đó$left| z-1+3i right|=left| z+1+i right|Leftrightarrow MA=MBRightarrow M$thuộc trung trực của AB có phương trình$Delta :x-y-2=0$

Gọi$Hleft( 2;-4 right),Kleft( 0;-2 right)Rightarrow P=M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}=2M{{I}^{2}}+frac{H{{K}^{2}}}{2}$

(với$Ileft( 1;-3 right)$là trung điểm của HK)

Do đó ${{P}_{min }}Leftrightarrow M{{E}_{min }}$ hay M là hình chiếu vuông góc của I xuống$Delta $, khi đó ${{P}_{min }}=2{{left[ dleft( I;Delta right) right]}^{2}}+frac{H{{K}^{2}}}{2}=8$. Chọn A.

@ Dạng 5: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-{{z}_{0}} right|=R$. Tìm số phức thỏa mãn $P={{left| z-{{z}_{1}} right|}^{2}}+{{left| z-{{z}_{2}} right|}^{2}}$đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Phương pháp: Đặt$M(z);A({{z}_{1}});B({{z}_{2}});Ileft( {{z}_{0}} right)$ là các điểm biểu diễn số phức $z;{{z}_{1}};{{z}_{2}}$ và ${{z}_{0}}$.

Khi đó từ giả thiết $left| z-{{z}_{0}} right|=RLeftrightarrow MI=RRightarrow M$thuộc đường tròn tâm I bán kính R.

Gọi E là trung điểm của AB ta có: $P=2M{{E}^{2}}+frac{A{{B}^{2}}}{2}$ lớn nhất $Leftrightarrow M{{E}_{text{max}}}$và P nhỏ nhất$Leftrightarrow M{{E}_{text{min}}}$.

Khi đó${{P}_{max}}Leftrightarrow Mequiv {{M}_{2}}$ và ${{P}_{min }}Leftrightarrow Mequiv {{M}_{1}}$.

Bài tập 1: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-1+2i right|=2$. Gọi$z=a+bileft( a;bin mathbb{R} right)$ là số thức thỏa mãn biểu thức $P={{left| z-2-3i right|}^{2}}+{{left| z-5i right|}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $T=a+b$

A. $T=1$ B. $T=3$ C. $T=-1$ D. $T=-3$

Lời giải chi tiết

Gọi $Mleft( z right);Ileft( 1;-2 right)$ khi đó$MI=2Leftrightarrow M$thuộc đường tròn tâm

$Ileft( 1;-2 right)$ bán kính $R=2$

Đặt $Aleft( 2;3 right);Bleft( 0;5 right)Rightarrow P=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$

Gọi $Hleft( 1;4 right)$là trung điểm của AB ta có :

$P=2M{{H}^{2}}+frac{A{{B}^{2}}}{2}$ lớn nhất$Leftrightarrow M{{H}_{text{max}}}$

Do $MHle MI+IHLeftrightarrow M{{H}_{text{max}}}Leftrightarrow Mequiv {{M}_{2}}$

Ta có:$IH:x=1$

Giải hệ$left{ begin{array} {} x=1 \ {} {{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}=4 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} {{M}_{1}}left( 1;0 right) \ {} {{M}_{2}}left( 1;-4 right) \ end{array} right.$. Do đó$a+b=-3$. Chọn D.

Bài tập 2: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-3+i right|=frac{sqrt{13}}{2}$. Gọi $z=a+bileft( a;bin mathbb{R} right)$ là số thức thỏa mãn biểu thức $P={{left| z-2-i right|}^{2}}+{{left| z-3i right|}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $T=a+b$

A. $T=frac{5}{2}$ B. $T=frac{3}{2}$ C. $T=frac{13}{2}$ D. $T=frac{9}{2}$

Lời giải chi tiết

Gọi $Mleft( z right);Ileft( 3;-1 right)$khi đó$MI=frac{sqrt{13}}{2}Leftrightarrow M$ thuộc đường tròn tâm $Ileft( 3;-1 right)$ bán kính $R=frac{sqrt{13}}{2}$

Đặt $Aleft( 2;1 right);Bleft( 0;3 right)Rightarrow P=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$

Gọi $Eleft( 1;2 right)$là trung điểm của AB ta có :

$P=2M{{E}^{2}}+frac{A{{B}^{2}}}{2}$nhỏ nhất$Leftrightarrow M{{E}_{text{min}}}$

Do $MEge left| MI-IE right|Leftrightarrow M{{E}_{text{min}}}Leftrightarrow Mequiv {{M}_{1}}$

Ta có: $IE:3x+2y-7=0$. Giải hệ$left{ begin{array} {} 3x-2y-7=0 \ {} {{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}=frac{13}{4} \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} {{M}_{1}}left( 2;frac{1}{2} right) \ {} {{M}_{2}}left( 4;frac{-5}{2} right) \ end{array} right.$. Do đó$a+b=frac{5}{2}$. Chọn A.

 Dạng 6: Cho hai số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn $left| {{z}_{1}}-{{z}_{0}} right|=R$và $left| {{z}_{2}}-{{text{w}}_{1}} right|=left| {{z}_{2}}-{{text{w}}_{2}} right|$;

trong đó ${{z}_{0;}}{{text{w}}_{1}};{{text{w}}_{2}}$ là các số phức đã biết. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$P=left| {{z}_{1}}-{{text{z}}_{2}} right|$

Phương pháp: Đặt $M({{z}_{1}});Nleft( {{z}_{2}} right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$và ${{z}_{2}}$.

Điểm M thuộc đường tròn tâm$Ileft( {{z}_{0}} right)$ bán kính$R$,$N$ thuộc trung trực $Delta $ của AB với$Aleft( {{text{w}}_{1}} right);Bleft( {{text{w}}_{2}} right)$

Lại có: $P=MNRightarrow {{P}_{min }}=left| {{d}_{(t;Delta )}}-R right|$

Ví dụ 1: Cho số phức ${{z}_{1}}$ thỏa mãn ${{left| z-2 right|}^{2}}-{{left| z+i right|}^{2}}=1$ và số phức ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $left| z-4-i right|=sqrt{5}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|$

A. $frac{2sqrt{5}}{5}$ B. $sqrt{5}$ C. $2sqrt{5}$ D. $frac{3sqrt{5}}{5}$

Lời giải

Gọi $M(z;y)$là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$. Khi đó ${{left| z-2 right|}^{2}}-{{left| z+i right|}^{2}}=1$

$Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{(y+1)}^{2}}=1Leftrightarrow -4x-2y=-2Leftrightarrow (Delta ):2x+y-1=0$

Gọi $N(a;b)$là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$. Khi đó $left| z-4-i right|=sqrt{5}Leftrightarrow {{(a-4)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=5$

Hay tập hợp điểm N trong mặt phẳng Oxy là đường tròn $(C):{{(x-4)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=5$

Ta có $dleft( {{I}_{(c)}};(Delta ) right)=frac{8}{sqrt{5}}>sqrt{5}={{R}_{(C)}}$

$Rightarrow left( Delta right)$ không cắt đường tròn$left( C right)$.

Lại có$MN=left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|Rightarrow $dựa vào hình vẽ ta thấy

$M{{N}_{min }}Leftrightarrow MN=dleft( {{I}_{left( C right)}};left( Delta right) right)-{{R}_{left( C right)}}$

Hay${{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}_{min }}=frac{8sqrt{5}}{5}-sqrt{5}=frac{3sqrt{5}}{5}$. Chọn D.

Bài toán có thể hỏi thêm là tìm số phức ${{z}_{1}}$ hoặc ${{z}_{2}}$ để${{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}_{min }}$ thì ta chỉ cần viết phương trình đường thẳng$MNbot left( Delta right)$ sau đó tìm giao điểm$left{ begin{array} {} M=left( Delta right)cap MN \ {} N=left( C right)cap MN \ end{array} right.$.

Ví dụ 2: Cho hai số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn $left| {{z}_{1}}+5 right|=5$ và $left| {{z}_{2}}+1-3i right|=left| {{z}_{2}}-3-6i right|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|$

A. ${{P}_{min }}=frac{5}{2}$ B. ${{P}_{min }}=frac{15}{2}$ C. ${{P}_{min }}=3$ D. ${{P}_{min }}=10$

Lời giải

Gọi $Mleft( {{z}_{1}} right);Nleft( {{z}_{2}} right)$lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức${{z}_{1}}$và${{z}_{2}}$.

Điểm M thuộc đường thẳng tròn tâm $Ileft( -5;0 right)$ bán kính $R=5$.

Điểm N thuộc đường thẳng trung trực $Delta $ của AB với $Aleft( -1;3 right);Bleft( 3;6 right)Rightarrow Delta :4x+3y-frac{35}{2}=0$

Lại có: $P=MNRightarrow {{P}_{min}}=left| {{d}_{left( I;Delta right)}}-R right|=frac{5}{2}$. Chọn A.

 Dạng 7: Cho hai số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn $left| {{z}_{1}}-{{text{w}}_{1}} right|={{R}_{1}}$ và $left| {{z}_{2}}-{{text{w}}_{1}} right|={{R}_{2}}$ trong đó${{text{w}}_{1}};{{text{w}}_{2}}$ là các số phức đã biết. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức$P=left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|$.

Phương pháp: Đặt $M({{z}_{1}});Nleft( {{z}_{2}} right)$lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$và ${{z}_{2}}$.

Điểm M thuộc đường tròn tâm $left( {{C}_{1}} right)$ tâm $Ileft( {{text{w}}_{1}} right)$ bán kính ${{R}_{1}}$ và $N$ thuộc đường tròn $left( {{C}_{2}} right)$ tâm $Kleft( {{text{w}}_{2}} right)$ bán kính ${{R}_{2}}Rightarrow P=MN$. Dựa vào các vị trí tương đối của 2 đường tròn để tìm $M{{N}_{max}};M{{N}_{min }}$

Ví dụ 1: Cho hai số phức $z;text{w}$ thỏa mãn $z.overline{z}=1$ và $left| text{w}-3+4i right|=2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=left| z-text{w} right|$

A. ${{P}_{max}}=5$ B. ${{P}_{text{max}}}=8$ C. ${{P}_{text{max}}}=10$ D. ${{P}_{text{max}}}=5+sqrt{2}$

Lời giải

Ta có:$z.overline{z}=1Leftrightarrow left| z right|=1$

Gọi $Mleft( z right);Nleft( text{w} right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $z$ và $text{w}$.

Điểm M thuộc đường tròn tâm $left( {{C}_{1}} right)$ tâm $Oleft( 0;0 right)$ bán kính ${{R}_{1}}=1$ và $N$ thuộc đường tròn $left( {{C}_{2}} right)$ tâm $K(3;-4)$ bán kính ${{R}_{2}}=2Rightarrow P=MN$.

Dễ thấy $OK=5>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}$ nên $left( {{C}_{1}} right)$ và $left( {{C}_{2}} right)$ nằm ngoài nhau suy ra $M{{N}_{max}}=OK+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=8$. Chọn B.

Ví dụ 2: [Đề tham khảo Bộ GD {} ĐT 2018] Xét các số phức$z=a+bileft( a,bin mathbb{R} right)$ thỏa mãn điều kiện $left| z-4-3i right|=sqrt{5}$. Tính $P=a+b$khi giá trị biểu thức $left| z+1-3i right|+left| z-1+i right|$ đạt giá trị lớn nhất

A. $P=10$ B. $P=4$ C. $P=6$ D. $P=8$

Lời giải

Gọi$Mleft( x;y right)$là điểm biểu diễn số phức$z$

Từ giả thiết, ta có $left| z-4-3i right|=sqrt{5}Leftrightarrow {{left( x-4 right)}^{2}}+{{left( y-3 right)}^{2}}=5Rightarrow M$ thuộc đường tròn$left( C right)$tâm$Ileft( 4;3 right)$, bán kính $R=sqrt{5}$. Khi đó $P=MA+MB$, với$Aleft( -1;3 right),Bleft( 1;-1 right)$.

Ta có ${{P}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+2MA.MBle 2left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} right).$

Gọi $Eleft( 0;1 right)$là trung điểm$ABRightarrow M{{E}^{2}}=frac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-frac{A{{B}^{2}}}{4}$.

Do đó ${{P}^{2}}le 4.M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}$ mà $MEle CE=3sqrt{5}$ suy ra ${{P}^{2}}le 4.{{left( 3sqrt{5} right)}^{2}}+{{left( 2sqrt{5} right)}^{2}}=200$.

Với C là giao điểm của đường thẳng EI với đường tròn$left( C right)$.

Vậy$Ple 10sqrt{2}$. Dấu$”=”$ xảy ra$left{ begin{array} {} MA=MB \ {} Mequiv C \ end{array} right.Rightarrow Mleft( 6;4 right)Rightarrow a+b=10$. Chọn A.

Ví dụ 3: [Đề tham khảo Bộ GD {} ĐT 2017] Xét các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện:

$left| z+2-i right|+left| z-4-7i right|=6sqrt{2}$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của$left| z-1+i right|$. Tính $P=M+m$

A. $P=sqrt{13}+sqrt{73}$ B. $P=frac{5sqrt{2}+2sqrt{73}}{2}$ C. $P=5sqrt{2}+sqrt{73}$ D. $P=frac{5sqrt{2}+sqrt{73}}{2}$

Lời giải

Đặt $z=x+yileft( x,yin mathbb{R} right)$ và gọi

$Mleft( x;y right),Aleft( -2;1 right),Bleft( 4;7 right)$ suy ra $AB=6sqrt{2}$.

Ta có $=left( 6;6 right)Rightarrow =left( 1;-1 right)Rightarrow $phương trình đường thẳng

AB là $x-y+3=0$.

Từ giả thiết, ta có $MA+MB=6sqrt{2}to MA+MB=AB$

suy ra M thuộc đoạn thẳng AB.

Gọi $Nleft( 1;-1 right)Rightarrow left| z-1+i right|=sqrt{{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}}=MNRightarrow left{ begin{array} {} {{left| z-1+i right|}_{min}}=M{{N}_{min }} \ {} {{left| z-1+i right|}_{text{max}}}=M{{N}_{text{max}}} \ end{array} right.$.

 Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của N trên AB.

Hay $M{{N}_{min }}=dleft( N;left( AB right) right)=frac{left| 1-left( -1 right)+3 right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{left( -1 right)}^{2}}}}=frac{5sqrt{2}}{2}to m=frac{5sqrt{2}}{2}$

 Độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất khi và chỉ khi$Mequiv A$hoặc$Mequiv B$.

Ta có $left{ begin{array} {} Mequiv Ato MN=AN=sqrt{13} \ {} Mequiv Bto MN=BN=sqrt{73} \ end{array} right.Rightarrow M{{N}_{max}}=sqrt{73}to M=sqrt{73}.$

Vậy giá trị biểu thức $P=M+m=frac{5sqrt{2}+2sqrt{73}}{2}$. Chọn B.

Ví dụ 4: Xét các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện: $left| z-1-i right|+left| z-7-4i right|=3sqrt{5}$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $left| z-5+2i right|$. Tính $P=M+m$

A. $P=sqrt{5}+sqrt{10}$ B. $P=frac{2sqrt{5}+sqrt{10}}{2}$ C. $P=2left( sqrt{5}+sqrt{10} right)$ D. $P=frac{5sqrt{2}+sqrt{10}}{2}$

Lời giải

Đặt $z=x+yileft( x,yin mathbb{R} right)$ và gọi $Mleft( x;y right),Aleft( 1;1 right),Bleft( 7;4 right)$

suy ra $AB=3sqrt{5}$.

Ta có$=left( 6;3 right)Rightarrow {{}_{_{(AB)}}}=left( 1;-2 right)Rightarrow $ phương trình đường

thẳng AB là $x-2y+1=0$.

Từ giả thiết, ta có $MA+MB=3sqrt{5}to MA+MB=AB$

suy ra M thuộc đoạn thẳng AB.

Gọi$Nleft( 5;-2 right)Rightarrow left| z-5+2i right|=MNRightarrow left{ begin{array} {} {{left| z-5+2i right|}_{min}}=M{{N}_{min }} \ {} {{left| z-5+2i right|}_{max}}=M{{N}_{text{max}}} \ end{array} right.$.

 Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của N trên AB.

Hay $M{{N}_{min }}=dleft( N;left( AB right) right)=frac{left| 5-2left( -2 right)+1 right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{left( -2 right)}^{2}}}}=2sqrt{5}to m=2sqrt{5}$

 Độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất khi và chỉ khi$Mequiv A$hoặc$Mequiv B$.

Ta có$left{ begin{array} {} Mequiv Ato MN=AN=5 \ {} Mequiv Bto MN=BN=2sqrt{10} \ end{array} right.Rightarrow M{{N}_{max}}=2sqrt{10}to M=2sqrt{10}.$

Vậy giá trị biểu thức $P=M+m=2left( sqrt{5}+sqrt{10} right).$ Chọn C.

Ví dụ 5: Biết số phức $z$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $left| z-3-4i right|=sqrt{5}$và biểu thức $M={{left| z+2 right|}^{2}}-{{left| z-i right|}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức $z+i$.

A. $left| z+i right|=2sqrt{41}$ B. $left| z+i right|=3sqrt{5}$ C. $left| z+i right|=5sqrt{2}$ D. $left| z+i right|=sqrt{41}$

Lời giải

Gọi $z=x+yileft( x,yin mathbb{R} right)$

Ta có: $left| z-3-4i right|=sqrt{5}Leftrightarrow {{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-4 right)}^{2}}=5Rightarrow $ tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là dường tròn $left( C right)$ tâm $Ileft( 3;4 right)$ và $R=sqrt{5}$.

Mặt khác: $M={{left| z+2 right|}^{2}}-{{left| z-i right|}^{2}}={{left( x+2 right)}^{2}}+{{y}^{2}}-left[ left( {{x}^{2}} right)+{{left( y-1 right)}^{2}} right]=4x+2y+3$$Leftrightarrow d:4x+2y+3-M=0$

Do số phức $z$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và $left( C right)$ có điểm chung

$Leftrightarrow dleft( I;d right)le RLeftrightarrow frac{left| 23-M right|}{2sqrt{5}}le sqrt{5}Leftrightarrow left| 23-M right|le 10Leftrightarrow 13le Mle 33$

$Rightarrow {{M}_{max}}=33Leftrightarrow left{ begin{array} {} 4x+2y-30=0 \ {} {{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-4 right)}^{2}}=5 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} x=5 \ {} y=-5 \ end{array} right.Rightarrow z+i=5-4iRightarrow left| z+i right|=sqrt{41}$. Chọn D.

Ví dụ 6: Cho hai số phức ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=8+6i$ và $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=2$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|?$

A. $P=4sqrt{6}$ B. $P=5+3sqrt{5}$ C. $P=2sqrt{26}$ D. $P=34+3sqrt{2}$

Lời giải

Đặt $Aleft( {{z}_{1}} right);Bleft( {{z}_{2}} right)$theo giả thiết ta có: $overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}=(8;6);left| – right|=2;P=OA+OB$

$104={{left( + right)}^{2}}+{{left( – right)}^{2}}=2left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} right)ge {{left( OA+OB right)}^{2}}={{P}^{2}}Rightarrow Ple sqrt{104}=2sqrt{26}$. Chọn C.

Ví dụ 7: [Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức $z$ thỏa mãn $left| iz+sqrt{2}-i right|=1$ và $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=2$. Giá trị lớn nhất của $left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|$bằng

A. 3 B. $2sqrt{3}$ C. $3sqrt{2}$ D. 4

Lời giải

Ta có:$left| iz+sqrt{2}-i right|=1Leftrightarrow left| ileft( x+yi right)+sqrt{2}-i right|=1$ (với$z=x+yileft( x;yin mathbb{R} right)$)

$Leftrightarrow {{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y-sqrt{2} right)}^{2}}=1Rightarrow Mleft( x;y right)$ biểu diễn $z$thuộc đường tròn tâm$Ileft( 1;sqrt{2} right)$ bán kính $R=1$.

Giả sử $Aleft( {{z}_{1}} right);Bleft( {{z}_{2}} right)$ do $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=2Rightarrow AB=2=2R$ nên $AB$ là đường kính của đường tròn$left( I;R right)$

Lại có:$left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|=OA+OB$

Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có:$O{{I}^{2}}=frac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}{2}-frac{A{{B}^{2}}}{4}Rightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=8$

Theo BĐT Bunhiascopky ta có: $2left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} right)ge {{left( OA+OB right)}^{2}}Rightarrow OA+OBle 4$. Chọn D.

Ví dụ 8: Cho ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $left| z-5-3i right|=5$và $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=8$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|$là:

A. $6-sqrt{34}$ B. $2sqrt{34}-6$ C. $2sqrt{34}+6$ D. $sqrt{34}+6$

Lời giải

Giả sử $text{w}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$

Đặt$left{ begin{array} {} {{text{w}}_{1}}={{z}_{1}}-5-3i \ {} {{text{w}}_{2}}={{z}_{2}}-5-3i \ end{array} right.$ suy ra ${{text{w}}_{1}}+{{text{w}}_{2}}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}-10-6i=text{w}-10-6iLeftrightarrow left| {{text{w}}_{1}}+{{text{w}}_{2}} right|=left| text{w}-10-6i right|$

Mà $left{ begin{array} {} left| {{text{w}}_{1}} right|=left| {{text{w}}_{2}} right|=5 \ {} left| {{text{w}}_{1}}-{{text{w}}_{2}} right|=left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=8 \ end{array} right.$ mà ${{left| {{text{w}}_{1}}+{{text{w}}_{2}} right|}^{2}}+{{left| {{text{w}}_{1}}-{{text{w}}_{2}} right|}^{2}}=2left( {{left| {{text{w}}_{1}} right|}^{2}}+{{left| {{text{w}}_{2}} right|}^{2}} right)Rightarrow {{left| {{text{w}}_{1}}+{{text{w}}_{2}} right|}^{2}}=36.$

Vậy $left| text{w}-10-6i right|=left| {{text{w}}_{1}}+{{text{w}}_{2}} right|=sqrt{36}=6Rightarrow text{w}$thuộc đường tròn tâm $Ileft( 10;6 right)$, bán kính $R=6$.

Cách 2: Gọi $Aleft( {{z}_{1}} right);Bleft( {{z}_{2}} right)$ biểu diễn số phức${{z}_{1}};{{z}_{2}}$

Ta có: tập hợp $z$ là đường tròn tâm $Ileft( 5;3 right)$ bán kính $R=5,AB=8$

Gọi H là trung điểm của $ABRightarrow text{w}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=+=2left( 1 right)$

Mặt khác$IH=sqrt{I{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=3Rightarrow $tập hợp điểm H là đường tròn${{left( x-5 right)}^{2}}+{{left( y-3 right)}^{2}}=9left( C right)$.

Giả sử $text{w}left( a;b right),left( 1 right)Rightarrow Hleft( frac{a}{2};frac{b}{2} right)in left( C right)Rightarrow {{left( frac{a}{2}-5 right)}^{2}}+{{left( frac{b}{2}-3 right)}^{2}}=9Leftrightarrow {{left( a-10 right)}^{2}}+{{left( b-6 right)}^{2}}=36.$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm $Ileft( 10;6 right)$, bán kính $R=6$.

Ta có:${{left| text{w} right|}_{min }}=left| OI-R right|=2sqrt{34}-6.$ Chọn B.

Ví dụ 9: Cho ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $left| 6-3i+iz right|=left| 2z-6-9i right|$, thỏa mãn điều kiện $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=frac{8}{5}$. Giá trị lớn nhất của $left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|$

A. $frac{31}{5}$ B. $frac{56}{5}$ C. $4sqrt{2}$ D. $5$

Lời giải

Đặt $z=x+yileft( x;yin mathbb{R} right)$ suy ra $left{ begin{array} {} 6-3i+iz=6-3i+ileft( x+yi right)=6-y+left( x-3 right)i \ {} 2z-6-9i=2x+2yi-6-9i=2x-6+left( 2y-9 right)i \ end{array} right.$

Khi đó, giả thiết$Leftrightarrow {{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-6 right)}^{2}}={{left( 2x-6 right)}^{2}}+{{left( 2y-9 right)}^{2}}Leftrightarrow {{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-4 right)}^{2}}=1,,,,,left( C right)$.

Tập hợp $z$là đường tròn tâm$Ileft( 3;4 right)$bán kính $R=1,AB=frac{8}{5}$

Đặt $text{w}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ gọi H là trung điểm của$ABRightarrow text{w}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=+=2left( 1 right)$

Mặt khác$IH=sqrt{I{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=frac{3}{5}Rightarrow $ tập hợp điểm H là đường tròn ${{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-4 right)}^{2}}=frac{9}{25},,,left( C right)$.

Giả sử $text{w}left( a;b right),left( 1 right)Rightarrow Hleft( frac{a}{2};frac{b}{2} right)in left( C right)Rightarrow {{left( frac{a}{2}-3 right)}^{2}}+{{left( frac{b}{2}-4 right)}^{2}}=frac{9}{25}Leftrightarrow {{left( a-6 right)}^{2}}+{{left( b-8 right)}^{2}}=frac{36}{25}.$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm $Ileft( 6;8 right)$, bán kính $R=frac{6}{5}$.

Ta có: ${{left| text{w} right|}_{max}}=OI+R=10+frac{6}{5}=frac{56}{5}.$

Chọn B.

Ví dụ 10: [Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Cho số phức $z$ thỏa mãn $z$ không phải là số thực và $text{w}=frac{z}{2+{{z}^{2}}}$ là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức$M=left| z+1-i right|$là

A. $2$ B. $2sqrt{2}$ C. $sqrt{2}$ D. 8

Lời giải

Ta có $text{w}=frac{z}{2+{{z}^{2}}}Rightarrow overline{text{w}}=overline{frac{z}{2+{{z}^{2}}}}=frac{overline{z}}{2+{{overline{z}}^{2}}}left( 1 right)$. Vì w là số thực nên$text{w}=overline{text{w}}left( 2 right)$.

Từ (1), (2) suy ra $text{w}=frac{z}{2+{{z}^{2}}}=frac{overline{z}}{2+{{overline{z}}^{2}}}Leftrightarrow zleft( 2+{{overline{z}}^{2}} right)=overline{z}left( 2+{{z}^{2}} right)Leftrightarrow 2left( z-overline{z} right)=z.overline{z}left( z-overline{z} right)$

$Leftrightarrow left( z-overline{z} right)left( {{left| z right|}^{2}}-2 right)=0Leftrightarrow {{left| z right|}^{2}}=2Leftrightarrow left| z right|=sqrt{2}$ (vì $z$không là số thực nên$z-overline{z}ne 0$).

Đặt $text{w}=z+1-iLeftrightarrow z=text{w}-1+i$ nên $left| text{w}-1+i right|=sqrt{2}Rightarrow {{left| text{w} right|}_{max}}=sqrt{2}+sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=2sqrt{2}$. Chọn B.

Cách 2: Ta có w là số thực nên $frac{1}{text{w}}=z+frac{2}{z}$ là số thực.

Đặt $z=a+biRightarrow frac{1}{text{w}}=a+bi+frac{2left( a-bi right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ là số thực khi $b-frac{2b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} b=0left( kot/mycbt right) \ {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2Rightarrow left| z right|=sqrt{2} \ end{array} right.$

Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn $Oleft( 0;0 right);R=sqrt{2}$

Đặt $Mleft( z right);Aleft( -1;1 right)Rightarrow M{{A}_{max}}=AO+R=2sqrt{2}$. Chọn B.

Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn $left| z right|=1$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức$P=left| z+1 right|+left| {{z}^{2}}-z+1 right|$. Tính giá trị của M.m

A. $frac{13sqrt{3}}{4}$ B. $frac{39}{4}$ C. $3sqrt{3}$ D. $frac{13}{4}$

Lời giải

Gọi $z=x+yi;left( xin mathbb{R};yin mathbb{R} right)$. Ta có:$left| z right|=1Leftrightarrow z.overline{z}=1$.

Ta có ${{t}^{2}}=left( 1+z right)left( 1+overline{z} right)=1+z.overline{z}+z+overline{z}=2+2xRightarrow x=frac{{{t}^{2}}-2}{2}$

Suy ra $left| {{z}^{2}}-z+1 right|=left| {{z}^{2}}-z+z.overline{z} right|=left| z right|left| z-1+overline{z} right|=sqrt{{{left( 2x-1 right)}^{2}}}=left| 2x-1 right|=left| {{t}^{2}}-3 right|$

Xét hàm số$fleft( t right)=t+left| {{t}^{2}}-3 right|,tin left[ 0;2 right]$. Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra

$text{max }fleft( t right)=frac{13}{4};min fleft( t right)=sqrt{3}Rightarrow M.n=frac{13sqrt{3}}{4}.$

Chọn A.

A. $text{MaxT=2}sqrt{5}$ B. $text{MaxT=2}sqrt{10}$ C. $text{MaxT=3}sqrt{5}$ D. $text{MaxT=3}sqrt{2}$

Lời giải

$T=left| z+1 right|+2left| z-1 right|le sqrt{left( 1+{{2}^{2}} right)left( {{left| z+1 right|}^{2}}+{{left| z-1 right|}^{2}} right)}=sqrt{5.2left( {{left| z right|}^{2}}+1 right)}=2sqrt{5}$(BĐT Cauchy-Swart)

Chú ý: ${{left| z+1 right|}^{2}}+{{left| z-1 right|}^{2}}=2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2=2left( {{left| z right|}^{2}}+1 right)$ với $z=x+yi$

Cách 2: Đặt $z=x+yi$. Ta có : $T=left| x+yi+1 right|+2left| x-yi-1 right|=sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}}+2sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}}$

Lại có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1Rightarrow T=sqrt{2x+2}+2sqrt{-2x+2}=fleft( x right)$

Ta có:$f’left( x right)=frac{1}{sqrt{2x+2}}-frac{2}{sqrt{2-2x}}=0Leftrightarrow x=frac{-6}{10}Rightarrow {{T}_{max}}=2sqrt{5}$. Chọn A.

A. 10 và 4 B. 5 và 4 C. 4 và 3 D. 5 và 3

Lời giải

Đặt $z=x+yi;left( x;yin mathbb{R} right)Rightarrow M(x;y)$biểu diễn $z$

Gọi ${{F}_{1}}(-4;0);{{F}_{2}}(4;0)Rightarrow M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=10$

Khi đó điểm biểu diễn $z$ là Elip có trục lớn

$2a=10Rightarrow a=5;{{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=8$

$Rightarrow c=4Rightarrow b=sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=3$. Do đó $3le OMle 5Rightarrow 3le left| z right|le 5$. Chọn D.