GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình quy hồi): Dạng 2 : Phương trình (left( {x + a} right)left( {x + b} right)left( {x + c} right)left( {x + d} right) = e) trong đó (a + b = c + d) Dạng 3: Phương trình (left( {x + a} right)left( {x + b} right)left( {x + c} right)left( {x + d} right) = e{x^2}), trong đó (ab = cd). Dạng 4 : Phương trình ({left( {x + a} right)^4} + {left( {x + b} right)^4} = c). Nguồn: Nguyễn Tiến

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình quy hồi):

(a{x^4} pm b{x^3} pm c{x^2} pm kbx + {k^2}a = 0,,left( {k > 0} right))

Với dạng này ta chia hai vế cho ({x^2},,left( {x ne 0} right)) ta được:

(aleft( {{x^2} + frac{{{k^2}}}{{{x^2}}}} right) pm bleft( {x + frac{k}{x}} right) + c = 0)

Đặt (t = x + frac{k}{x}) với (left| t right| ge 2sqrt k ) ta có : ({x^2} + frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} = {left( {x + frac{k}{x}} right)^2} – 2k = {t^2} – 2k), thay vào ta được phương trình : (aleft( {{t^2} – 2k} right) pm t + c = 0)

Dạng 2 : Phương trình (left( {x + a} right)left( {x + b} right)left( {x + c} right)left( {x + d} right) = e) trong đó (a + b = c + d)

Phương trình ( Leftrightarrow left[ {{x^2} + left( {a + b} right)x + ab} right]left[ {{x^2} + left( {c + d} right)x + cd} right] = e)

Đặt (t = {x^2} + left( {a + b} right)x) ta có (left( {t + ab} right)left( {t + cd} right) = e)

Dạng 3: Phương trình (left( {x + a} right)left( {x + b} right)left( {x + c} right)left( {x + d} right) = e{x^2}), trong đó (ab = cd). Với dạng nàu ta chia hai vế của phương trình cho ({x^2},,left( {x ne 0} right)). Phương trình tương đương:

(begin{array}{l}left[ {{x^2} + left( {a + b} right)x + ab} right]left[ {{x^2} + left( {c + d} right)x + cd} right] = {{rm{?}}^2}\ Leftrightarrow left[ {x + frac{{ab}}{x} + a + b} right]left[ {x + frac{{cd}}{x} + c + d} right] = eend{array})

Đặt (t = x + frac{{ab}}{x} = x + frac{{cd}}{x}). Ta có phương trình (left( {t + a + b} right)left( {t + c + d} right) = e)

Dạng 4 : Phương trình ({left( {x + a} right)^4} + {left( {x + b} right)^4} = c). Đặt (x = t – frac{{a + b}}{2}) ta đưa về phương trình trùng phương.

Bài 1 : Giải các phương trình

(begin{array}{l}1),,2{x^4} – 5{x^3} + 6{x^2} – 5x + 2 = 0\2),,{left( {x + 1} right)^4} + {left( {x + 3} right)^4} = 0\3),,xleft( {x + 1} right)left( {x + 2} right)left( {x + 3} right) = 24\4),,left( {x + 2} right)left( {x – 3} right)left( {x + 4} right)left( {x – 6} right) + 6{x^2} = 0end{array})

Lời giải

1) Ta thấy (x = 0) không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho ({x^2}) ta được :

(2left( {{x^2} + frac{1}{{{x^2}}}} right) – 5left( {x + frac{1}{x}} right) + 6 = 0). Đặt (t = x + frac{1}{x},,left( {left| t right| ge 2} right) Rightarrow {x^2} + frac{1}{{{x^2}}} = {left( {x + frac{1}{x}} right)^2} – 2 = {t^2} – 2)

Có (2left( {{t^2} – 2} right) – 5t + 6 = 0 Leftrightarrow 2{t^2} – 5t + 2 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 2\t = frac{1}{2}end{array} right.)

Với (t = 2 Rightarrow x + frac{1}{x} = 2 Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 0 Leftrightarrow x = 1)

2) Đặt (x = t – 2) ta được ({left( {t – 1} right)^4} + {left( {t + 1} right)^4} = 2 Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0 Leftrightarrow t = 0 Leftrightarrow x = – 2)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x = – 2).

Chú ý : Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác : Trước hết ta có bất đẳng thức :

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 – Xem ngay