Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

Cho đường cong $y=f(x)$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=k’x+b$.

Gọi $M(x_0;y_0$ là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=f(x)$ tại điểm $M(x_0;y_0$ là:

$y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0$

hay $y=k(x-x_0)+y_0$ với $k=f'(x_0)$

Để viết được phương trình tiếp tuyến thì các bạn cần xác định được $x_0, y_0, f'(x_0)$

Với dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=f(x)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) có phương trình là: $y=k’x+b$ thì các bạn sử dụng tính chất:

$k.k’=-1$ (tích 2 hệ số góc bằng -1)

$f'(x_0).k’=-1$

$f'(x_0)=frac{-1}{k}$

• 

Xem thêm bài giảng:

• Lý thuyết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
• Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến
• Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
• Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với các trục tọa độ
• Bài tập tiếp tuyến của đường tròn có lời giải

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số $y=f(x)=2x^2+3x+1$ biết d vuông góc với đường thẳng d’: $y=x+2$.

Ta có: $f'(x)=4x+3$

Gọi $M(x_0;y_0)$ là tiếp điểm.

Khi đó: $k=f'(x_0)=4x_0+3$ và $y_0=f(x_0)=2x^2_0+3x_0+1$

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’ có hệ số góc k’=1 nên ta có:

$k.k’=-1$

<=> $(4x_0+3).1=-1$

<=> $4x_0+3=-1$

<=> $x_0=-1$

• $f'(x_0) = 4.(-1)+3 = -1$

Và $y_0 = f(x_0) = 2.(-1)^2+3(-1)+1=0$

Phương trình tiếp tuyến của parabol vuông góc với đường thẳng d’ là:

$y=-1(x+1)+0$ => $y=-x-1$

Bài 2: Cho đường cong (C): $y=frac{1}{4}x^4-x^2+2$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d):$ x-4y+12=0$

Hướng dẫn:

$f'(x)=x^3-2x$

<=> $y_0=f(x_0)=frac{1}{4}x^4_0-x^2_0+2$

<=> $k =f'(x_0)=x^3_0-2x_0$

Đường thẳng d có hệ số góc là: $k’=frac{1}{4}$

Ta có:

$k.k’=-1$

<=> $( x^3_0-2x_0).frac{1}{4}=-1$

<=> $ x^3_0-2x_0-4=0$

<=> $(x_0-2)(x^2_0+2x_0+2)=0$ (xem thêm cách phân tích theo lược đồ hoocner )

<=> $x_0-2=0$

<=> $x_0=2$y_0=f(x_0)=f(2)=2$; $f'(x_0)=f'(2)=4$

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) vuông góc với đường thẳng d là:

$y=4(x-2)+2$ => $y=4x-6$

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C):$y=f(x)=frac{x-3}{x+1}$ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): $x+2y-4 = 0$

Hướng dẫn:

Ta có: $y’=f'(x)=frac{2}{(x+1)^2}$; $y_0=f(x_0)= )=frac{x_0-3}{x_0+1}$

$ k=f'(x_0)=frac{2}{(x_0+1)^2}$

Đường thẳng d có hệ số góc là: $k’=frac{-1}{2}$

Ta có:

$k.k’=-1$

<=> $frac{2}{(x_0+1)^2}.frac{-1}{2}=-1$

<=> $frac{2}{(x_0+1)^2}=2$

<=> $(x_0+1)^2=1$

<=> $x_0+1=1$ hoặc $x_0+1=-1$

<=> $x_0=0$ hoặc $x_0=-2$

Hệ số góc của tiếp tuyến là $k=2$

Với $x_0=0$ => $y_0 = f(0)=-3$. Phương trình tiếp tuyến của (C) là:

$y=2(x-0)-3$ => $y=2x-3$

Với $x_0=-2$ => $y_0=f(-2)=5$. Phương trình tiếp tuyến của (C) là:

$y=2(x+2)+5$ => $y=2x+9$

Bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho trước.

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): $y=f(x)=frac{x+2}{x+3}$ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): $x+4y-1 = 0$

Bài 2: Cho đường cong (C):$y=frac{1}{4}x^4+2x-3$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết: a.Tiếp tuyến có hệ số góc k = 3. b.Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): $x-6y+5=0$

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số $y=2x^2+2x+1$ biết d vuông góc với đường thẳng $y=-x+3$

Bài 4: Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): a.Tại điểm có hoành độ bằng (-1). b.Tại điểm có tung độ bằng 2. c.Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+1 d.Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C). e.Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=−124x+2 f.Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3. g.Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−1;−2)